Primzahlzwillings-Bi-Kette

In der Zahlentheorie ist eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge ${\displaystyle k 1}$ eine Primzahlenfolge der Form

${\displaystyle (n-1,n 1),(2n-1,2n 1),\ldots (2^{k}\cdot n-1,2^{k}\cdot n 1)}$

(der Ausdruck kommt vom englischen Bi-twin chain bzw. Bitwin chain).

Beispiele

• Die kleinsten ${\displaystyle n}$, welche eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 generieren (also auf die beiden Paare ${\displaystyle (n-1,n 1),(2n-1,2n 1)}$ führen), sind die folgenden:

6, 30, 660, 810, 2130, 2550, 3330, 3390, 5850, 6270, 10530, 33180, 41610, 44130, 53550, 55440, 57330, 63840, 65100, 70380, 70980, 72270, 74100, 74760, 78780, 80670, 81930, 87540, 93240, 102300, 115470, 124770, 133980, 136950, 156420, … (Folge A066388 in OEIS)

• Die kleinsten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge ${\displaystyle k 1}$ sind die folgenden (dabei ist ${\displaystyle n\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\ldots \cdot n}$ das Produkt aller Primzahlen bis ${\displaystyle n}$ (Primfakultät)):

• Die größten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge ${\displaystyle k 1}$ sind die folgenden:

Die Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 9 ist momentan (Stand: 20. Juni 2017) die längste bekannte Kette. Es ist auch gleichzeitig die einzige bekannte Kette dieser Länge.

Eigenschaften

• Eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 1 hat die Form ${\displaystyle (n-1,n 1)}$. Man nennt sie Primzahlzwilling.
• Jedes der Paare ${\displaystyle (2^{i}\cdot n-1,2^{i}\cdot n 1)}$ mit ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ ist ein Primzahlzwilling.
• Die Zahlen ${\displaystyle n-1,2n-1,\ldots ,2^{k}n-1}$ bilden eine Cunningham-Kette der ersten Art mit ${\displaystyle k 1}$ Gliedern.
• Die Zahlen ${\displaystyle n 1,2n 1,\ldots ,2^{k}n 1}$ bilden eine Cunningham-Kette der zweiten Art mit ${\displaystyle k 1}$ Gliedern.
• Jede Primzahl der Form ${\displaystyle 2^{i}\cdot n-1}$ mit ${\displaystyle 0\leq i\leq k-1}$ ist eine Sophie-Germain-Primzahl.
• Jede Primzahl der Form ${\displaystyle 2^{i}\cdot n-1}$ mit ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ist eine sichere Primzahl.
• Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n>6}$, sodass ${\displaystyle (n-1,n 1),(2n-1,2n 1)}$ mindestens eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 ist. Dann gilt:

${\displaystyle n=30k}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

Verallgemeinerung

Eine verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge ${\displaystyle k 1}$ ist eine Primzahlenfolge der Form

${\displaystyle (n-1,n 1),(b\cdot n-1,b\cdot n 1),\ldots (b^{k}\cdot n-1,b^{k}\cdot n 1)}$ mit ${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$

Beispiele

• Die größten verallgemeinerten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge ${\displaystyle k 1}$ sind die folgenden:

Einzelnachweise

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bitwin Chain. In: MathWorld (englisch).